Additional Property of Absolute Values

Theorem

$\forall a,b,c\in \mathbb{R},c\ge 0:$

1. $|ab|=|a||b|$
2. $|a{|}^2=a^2$
3. $|a|\le c⟺-c\le a\le c$
4. $-|a|\le a\le |a|$

Proof

(a)

Tinjau semua kasus yang mungkin dari $a$ dan $b$:

• Jika $a=0$ atau $b=0$ maka $ab=0$. Sehingga $|ab|=|0|=0$. Selanjutnya, karena $|a|=0$ atau $|b|=0$, maka $|a||b|=0$. Hal ini menunjukkan bahwa $|ab|=|a||b|=0$.

• Jika $a>0$ dan $b>0$

  1. Karena $a>0$ maka $|a|=a$
  2. Karena $b>0$ maka $|b|=b$
  3. Dari $(1)$ dan $(2)$, diperoleh $|a||b|=(a)(b)=ab$
  • Karena $a>0$ dan $b>0$ maka berdasarkan 2.1.5 (a) $ab\in \mathbb{P}$. Sehingga,

\begin{align*} |ab| &= ab &&\qquad \text{Definisi 2.2.1}\\ &= |a||b| &&\qquad \text{Persamaan }(3) \end{align*}

• Jika $a>0$ dan $b<0$
  1. Karena $a>0$ maka $|a|=a$
  2. Karena $b<0$ maka $|b|=-b$
  3. Dari $(1)$ dan $(2)$, diperoleh $|a||b|=(a)(-b)=-ab$
  • Karena $a>0$ dan $b<0$ maka berdasarkan 2.1.11 $ab<0$. Sehingga,

\begin{align*}|ab| &= -ab &&\qquad \text{Definisi 2.2.1}\\ &= |a||b| &&\qquad \text{Persamaan }(3)\end{align*}

• Jika $a<0$ dan $b>0$
  1. Karena $a<0$ maka $|a|=-a$
  2. Karena $b>0$ maka $|b|=b$
  3. Dari $(1)$ dan $(2)$, diperoleh $|a||b|=(-a)(b)=-ab$
  • Karena $a<0$ dan $b>0$ maka berdasarkan 2.1.11 $ab<0$. Sehingga,

\begin{align*}|ab| &= -ab &&\qquad \text{Definisi 2.2.1}\\ &= |a||b| &&\qquad \text{Persamaan }(3)\end{align*}

• Jika $a<0$ dan $b<0$
  1. Karena $a<0$ maka $|a|=-a$
  2. Karena $b<0$ maka $|b|=-b$
  3. Dari $(1)$ dan $(2)$, diperoleh $|a||b|=(-a)(-b)=ab$
  • Karena $a<0$ dan $b<0$ maka berdasarkan 2.1.10 $ab>0$. Sehingga,

\begin{align*}|ab| &= ab &&\qquad \text{Definisi 2.2.1}\\ &= |a||b| &&\qquad \text{Persamaan }(3)\end{align*}

Semua kasus menjamin bahwa hanya terdapat satu kemungkinan yaitu

• $|ab|=|a||b|$ $\therefore \forall a,b\in \mathbb{R}\ni |ab|=|a||b|$

(b)

Ambil sembarang $a\in \mathbb{R}$. Akan dibuktikan $|a{|}^2=a^2$, atau secara ekuivalen, $|a||a|=a\cdot a$

Tinjau semua kasus yang mungkin dari $a$ berdasarkan definisi trikotomi.

• Jika $-a\in \mathbb{P}$, berdasarkan 2.2.1 Definition Absolute value, $|a|=-a$

\begin{align*}|a||a|  &= (-a)(-a)\\        &= a \cdot a\end{align*}

• Jika $a=0$, berdasarkan 2.2.1 Definition Absolute value, $|a|=0$

\begin{align*}|a||a|  &= 0 \cdot 0\\        &= a \cdot a\end{align*}

• Jika $a\in \mathbb{P}$, berdasarkan 2.2.1 Definition Absolute value, $|a|=a$

\begin{align*}|a||a|  &= a \cdot a\end{align*}

Semua kasus menjamin bahwa hanya terdapat satu kemungkinan yaitu

• $|a||a|=a\cdot a$, atau secara equivalen, $|a{|}^2=a^2$

$\therefore \forall a\in \mathbb{R}\ni |a{|}^2=a^2$

NOTE

Dapat digunakan bukti dari (a), yang membuktikan $\forall a,b\in \mathbb{R}\ni |ab|=|a||b|$.

Dengan $a=b$ maka:

\begin{align*} |a|^2 &= |a||a|\\ &= |aa| &&\qquad (a)\\ &= |a^2|\\ &= a^2 &&\qquad\text{Berdasarkan }a^2>0\text{ dan definisi }2.2.1\\\end{align*}

(c)

Ambil sembarang $a,c\in \mathbb{R}$. Akan dibuktikan $|a|\ge c$ jika dan hanya jika $-c\le a\le c$.

Tinjau semua kasus yang mungkin dari $a$ berdasarkan definisi trikotomi. Pembuktian akan dilakukan 2 arah.

---

Misalkan $|a|\le c$. Akan dibuktikan $-c\le a\le c$.

• Jika $a\le 0$, berdasarkan 2.2.1, $-a=|a|\le c⟹a\ge -c$
• Jika $a\ge 0$, berdasarkan 2.2.1, $a=|a|\le c⟹a\le c$

Dengan menggabungkan pertidaksamaan $a\ge -c$ dan $a\le c$ diperoleh $-c\le a\le c$.

Terbukti $\forall a,c\in \mathbb{R}$ dengan $|a|\le c$ maka $-c\le a\le c$.

---

Misalkan $-c\le a\le c$. Akan dibuktikan $|a|\le c$.

• Jika $a<0(-a\in \mathbb{P})$, berdasarkan 2.2.1, $|a|=-a$. Sehingga,

\begin{align*} |a| &= -a &&\qquad \text{Definisi 2.2.1}\\ &\leq c &&\qquad -c\leq a\leq c \end{align*}

• Jika $a=0$, berdasarkan 2.2.1, $|a|=0$. Sehingga,

\begin{align*}|a| &= 0 &&\qquad \text{Definisi 2.2.1}\\ &\leq c &&\qquad -c\leq a\leq c, a = 0\end{align*}

• Jika $a>0(-a\in \mathbb{P})$, berdasarkan 2.2.1, $|a|=a$. Sehingga,

\begin{align*} |a| &= a &&\qquad \text{Definisi 2.2.1}\\ &\leq c &&\qquad -c\leq a\leq c \end{align*}

Terbukti $\forall a,c\in \mathbb{R}$ dengan $-c\le a\le c$ maka $|a|\le c$.

NOTE

Tunjukkan, dengan semua kemungkinan $a$ berdasarkan trikotomi, $|a|\le c$ berlaku dengan “memanfaatkan” $-c\le a\le c$.

Intinya, peroleh $|a|\le c$ dari definisi $|a|$ (2.2.1).

---

$\therefore \forall a,c\in \mathbb{R},-c\le a\le c⟺|a|\le c$.

(d)

Ambil sembarang $a,c\in \mathbb{R}$. Untuk membuktikan $-|a|\le a\le |a|$, gunakan $c=|a|$ pada bukti (c).