Triangle Inequality

Theorem

$|a+b|\le |a|+|b|,\forall a,b\in \mathbb{R}$

Corollary 1

There are multiple variations of Triangle Inequality, which is:

$\forall a,b\in \mathbb{R}:$

1. $||a|-|b||\le |a-b|$
2. $|a-b|\le |a|+|b|$

Corollary 2

$|a_1+\cdots +a_n|\le |a_1|+\cdots +|a_n|,\forall a_1,\dots ,a_n\in \mathbb{R}$

Proof

Theorem

Ambil sembarang $a,b\in \mathbb{R}$. Akan dibuktikan $|a+b|\le |a|+|b|$.

Dari 2.2.2 (d), diperoleh $-|a|\le a\le |a|$ dan $-|b|\le b\le |b|$.

Dengan menjumlahkan kedua pertidaksamaan tersebut, diperoleh:

\begin{align*} -|a| &\leq a &&\leq |a| \\ -|b| &\leq b &&\leq |b| \\ \hline -(|a| + |b|) &\leq a + b &&\leq |a| + |b| \end{align*}

Dengan 2.2.2 (c), berikutnya diperoleh $|a+b|\le |a|+|b|$.

$\therefore \forall a,b\in \mathbb{R}\ni |a+b|\le |a|+|b|$

Corollary 1

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