Chapter 4 Exercises

4.59

Let $Y_1<Y_2<Y_3<Y_4<Y_5$ denote the order statistics of a random sample of size 5 from a distribution having p.d.f. $f(x)=e^{-x}$, $0<x<\infty$, zero elsewhere. Show that $Z_1=Y_2$ and $Z_2=Y_4-Y_2$ are independent.

Hint: First find the joint p.d.f. of $Y_2$ and $Y_4$.

Answer

Diketahui $f(x)=e^{-x}$ untuk $x>0$, merupakan distribusi exponential dengan parameter $\lambda =1$.

cdf dari distribusi eksponensial adalah: $F(x)=1-e^{-x},x>0$

Berdasarkan teorema marginal pdf of order statistics, joint marginal pdf dari $Y_i$ dan $Y_j$ dengan $i<j$ adalah:

$$g_{ij}\left(y_i,y_j\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{n!}{(i-1)!(j-i-1)!(n-j)!}{\left[F\left(y_i\right)\right]}^{i-1}{\left[F\left(y_j\right)-F\left(y_i\right)\right]}^{j-i-1}{\left[1-F\left(y_j\right)\right]}^{n-j}f\left(y_i\right)f\left(y_j\right)& a<y_i<y_j<b\\ 0& \text{ elsewhere }\end{array}$$

Untuk $Y_2$ dan $Y_4$ dengan $n=5$, $i=2$, $j=4$:

$$\begin{array}{rl}{g}_{2,4}(y_2,y_4)& =\frac{5!}{(2-1)!(4-2-1)!(5-4)!}[F(y_2){]}^{2-1}[F(y_4)-F(y_2){]}^{4-2-1}[1-F(y_4){]}^{5-4}f(y_2)f(y_4)\\ & =120(1-e^{-u})(e^{-u}-e^{-v})(e^{-v})(e^{-u})(e^{-v})\\ & =120(1-e^{-u})(e^{-u}-e^{-v})e^{-u-2v}\end{array}$$

Misalkan $z_1=u$ dan $z_2=v-u$. Dapat diperoleh

$$\begin{array}{rl}{g}_{2,4}(y_2,y_4)& =120(1-e^{-z_1})(e^{-z_1}-e^{-(z_1+z_2)})e^{-z_1-2(z_1+z_2)}\\ & =120(1-e^{-z_1})(e^{-z_1}-e^{-z_1}{e}^{-z_2})e^{-3z_1-2z_2}\\ & =120(1-e^{-z_1})e^{-z_1}(1-e^{-z_2})e^{-3z_1-2z_2}\\ & =120(1-e^{-z_1})e^{-4z_1}(1-e^{-z_2})e^{-2z_2}\\ & =[120(1-e^{-z_1})e^{-4z_1}]\cdot [(1-e^{-z_2})e^{-2z_2}]\end{array}$$

Karena joint pdf $g_{2,4}(y_2,y_4)$ dapat diekspresikan sebagai $g(z_1)\cdot h(z_2)$, maka $Z_1$ dan $Z_2$ adalah independen.

$\therefore$ Terbukti bahwa $Z_1=Y_2$ dan $Z_2=Y_4-Y_2$ adalah independen.

Chapter 5